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设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: A的特征值和特征向量;
设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: A的特征值和特征向量;
admin
2018-11-11
100
问题
设向量α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0,记n阶矩阵A=αβ
T
,求:
A的特征值和特征向量;
选项
答案
方法一 利用(1)A
2
=0.设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则Aξ=λξ,两端左边乘A,得A
2
ξ=λAξ=λ
2
ξ. 因A
2
=O,所以λ
2
ξ=0,ξ≠0,故λ=0即矩阵A的全部特征值为0. 方法二 直接用特征值的定义. Aξ=αβ
T
ξ=λξ, ① 由①式,若β
T
ξ=0,则λξ=0,ξ≠0,得λ=0; 若β
T
ξ≠0,①式两端左边乘β
T
,得β
T
αβ
T
ξ=(β
T
α)β
T
ξ=0.(β
T
ξ)=λβ
T
ξ,得λ=0,故A的全部特征值为0. 方法三 利用特征方程|λE一A|=0. [*] 因右端行列式中每一列的第2子列均成比例,故将行列式拆成2
n
个行列式时,凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零,不为零的行列式只有n+1个,它们是 [*] 因[*]故|λE一A|=λ
n
=0,故λ=0是A的全部特征值. 方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量.不妨设a
1
≠0,b
1
≠0,有 [*] 则A的对应于特征值0的特征向量为[*]k
1
,…,k
n-1
为不全为零的常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/EJj4777K
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考研数学二
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