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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)+λf(ξ)=0。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)+λf(ξ)=0。
admin
2018-12-27
45
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)+λf(ξ)=0。
选项
答案
令F(x)=e
λx
f(x),则F’(x)=e
λx
f’(x)+λf(x)e
λx
,显然F(a)=F(b)=0,由罗尔定理知,必存在一点ξ∈(a,b),使F’(ξ)=0,即 e
λξ
[f’(ξ)+λf(ξ)]=0, 但e
λξ
≠0,则f’(ξ)+λf(ξ)=0。故原题得证。
解析
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考研数学一
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