2. 考研
  3. 设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．

admin2019-04-22  59
问题 设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．
选项
答案令F(χ)＝∫0χf(t)sintdt，因为F(0)＝F(χ)＝0，所以存在χ1∈(0，π)，使得F′(χ1)＝0，即f(χ1)sinχ1＝0，又因为sinχ1≠0，所以f(χ1)＝0． 设χ1是f(χ)在(0，π)内唯一的零点，则当χ∈(0，π)且χ≠χ1时，有sin(χ－χ1)f(χ) 恒正或恒负，于是∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ≠0． 而∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ＝cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ－sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ＝0，矛盾， 所以f(χ)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(χ1)＝f(χ2)＝0，χ1，χ2∈(0，π)且χ1＜χ2， 由罗尔中值定理，存在ξ∈(χ1，χ2)[*](0，π)，使得f′(ξ)＝0．
解析
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考研数学二

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