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  3. 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

admin2016-01-20  10
问题 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。
是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
选项
答案存在a，使数列{an}是等比数列。 事实上，由②知，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an，即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a3n-1。 而要使3an＞n2，即a．3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需a＞[*]对一切n∈N*都成立。 [*] 当[*]时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列。 当a=[*]时，3a=1=12，由③知，f1(x)无极值，不合题意。 当a＜[*]时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，…数列{an}不是等比数列。 综上所述，存在a使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为([*]，+∞)。
解析
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