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数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
admin
2016-01-20
23
问题
数列{a
n
}(n∈N
*
)中,a
1
=a,a
n+1
是函数f(x)=
(3a
n
+n
2
)x
2
+3n
2
a
n
x的极小值点。
是否存在a,使数列{a
n
}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
选项
答案
存在a,使数列{a
n
}是等比数列。 事实上,由②知,若对任意的n,都有3a
n
>n
2
,则a
n+1
=3a
n
,即数列{a
n
}是首项为a,公比为3的等比数列,且a
n
=a3
n-1
。 而要使3a
n
>n
2
,即a.3
n
>n
2
对一切n∈N
*
都成立,只需a>[*]对一切n∈N
*
都成立。 [*] 当[*]时,可得a
1
=a,a
2
=3a,a
3
=4,a
4
=12,…,数列{a
n
}不是等比数列。 当a=[*]时,3a=1=1
2
,由③知,f
1
(x)无极值,不合题意。 当a<[*]时,可得a
1
=a,a
2
=1,a
3
=4,a
4
=12,…数列{a
n
}不是等比数列。 综上所述,存在a使数列{a
n
}是等比数列,且a的取值范围为([*],+∞)。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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