首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξi)+f(ξi)=
admin
2019-07-22
39
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.证明:
(1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0;
(2)存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
1
≠ξ
2
,使得f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2);
(3)存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=f(ξ);
(4)存在η∈(a,b),使得f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
(1)令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F’(x)=f(x).故存在c∈(a,b),使得 ∫
a
b
f(x)dx=F(b)=F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0. (2)令h(x)=e
x
f(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,而h’(x)=e
x
[f’(x)+f(x)]且e
x
≠0,所以f’(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2). (3)令φ(x)=e
-x
[f’(x)+f(x)],φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
-x
[f’’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f’’(ξ)=f(ξ). (4)令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g’(η
1
)=g’(η
2
)=0,而g’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f’(η
1
)-f(η
1
)=0,f’(η
2
)-f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)-f(x)],φ(η
1
)=φ(η
2
)=0, 由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=e
-2x
[f’’(x)-3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0, 所以f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FQN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设m,n均是正整数,则反常积分的收敛性()
设A为n阶非奇异矩阵,α是n维列向量,b为常数,P=(1)计算PQ;(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
设k为常数,方程kx-+1=0在(0,+∞)内恰有一根,求k的取值范围.
计算二重积分I=∫01dx
若函数f(x)在x=1处的导数存在,则极限=_______.
求数列极限
积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值
随机试题
郑某等人多次预谋通过爆炸抢劫银行运钞车。为方便跟踪运钞车,郑某等人于2012年4月6日杀害一车主,将其面包车开走(事实一)。后郑某等人制作了爆炸装置,并多次开面包车跟踪某银行运钞车,了解运钞车到某储蓄所收款的情况。郑某等人摸清运钞车情况后,于同年6月8日将
设A是m×n的非零矩阵,B是n×l非零矩阵,满足AB=0,以下选项中不一定成立的是()。
图示三铰支架上作用两个大小相等、转向相反的力偶m1和m2,其大小均为100kN·m,支架重力不计。支座B的反力RB的大小和方向为( )。
能反映一个组织系统中各项工作之间逻辑关系的组织工具是()
某连锁娱乐企业是增值税一般纳税人,主要经营室内游艺设施。2021年11月经营业务如下:(1)当月游艺收入价税合计636万元,其中门票收入为300万元、游戏机收入为336万元。当月通过税控系统实际开票价款为280万元。(2)当月以融资性售后回租形式融资,
1990年,我们党的十四大报告进一步系统地阐述了建设有中国特色社会主义理论的主要内容。( )
根据《合同法》规定,违反合同一方要承担违约责任,下列不属于承担违约责任方式的是()。
8个人比赛国际象棋,约定每两人之间都要比赛一局,胜者得2分,平局得1分,负的不得分。在进行了若干局比赛之后,发现每个人的分数都不一样。问最多还有几局比赛没比?()
数据字典是各类数据描述的集合,它通常包括5个部分,即数据项、数据结构、数据流、【】和处理过程。
Lightlevelsarecarefullycontrolledtofallwithinanacceptablelevelfor______readingconvenience.
最新回复
(
0
)