设F(x)=∫0x(2t–x)f(t)dt，f(x)可导，且f’(x)＞0，则( )。

admin2018-11-30 17

问题设F(x)=∫₀^x(2t–x)f(t)dt，f(x)可导，且f’(x)＞0，则( )。

选项 A、F(0)是极大值
B、F(0)是极小值
C、F(0)不是极值，但(0，F(0))是曲线F(x)的拐点坐标
D、F(0)不是极值，(0，F(0))也不是曲线F(x)的拐点坐标

答案C

解析 F(x)=2∫₀^xtf(t)dt–x∫₀^xf(t)dt；
F’(x)=2xf(x)–∫₀^xf(t)dt–xf(x)=xf(x)–∫₀^xf(t)dt；
F’’(x)=f(x)+xf’(x)–f(x)=xf’(x)。
F’’(0)=0。又由f’(x)＞0，当x＜0时，F’’(x)＜0；当x＞0时，F’’(x)＞0；
因此(0，F(0))是曲线的拐点。
由F’’(x)的符号可得：
当x＜0时F’(x)单调递减，因此F’(x)＞F’(0)=0；
当x＞0时，F’(x)单调递增，因此F’(x)＞F’(0)=0，
从而推得F(x)在(–∞，+∞)单调增加，F(0)不是极值。

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