2. 考研
  3. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0．6

某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0．6

admin2021-11-15  1
问题 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0．6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0．9．
(Ⅰ)求该仪器的不合格率；
(Ⅱ)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大．
选项
答案记事件B=“仪器不合格”，Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”，i=0，1，2，3．显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组，且 P(B｜A0)=0， P(B｜A1)=0．2， P(B｜A2)=0．6， P(B｜A3)=0．9， P(A0)=0．8×0．7×0．9=0．504， P(A1)=0．2×0．7×0．9+0．8×0．3×0．9+0．8×0．7×0．1=0．398， P(A3)=0．2×0．3×0．1=0．006， P(A2)=1—P(A0)一P(A1)一P(A3)=0．092． (Ⅰ)应用全概率公式，有 [*] =0．504×0+0．398×0．2+0．092×0．6+0．006×0．9=0．1402． (Ⅱ)应用贝叶斯公式，有 [*] 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大．事实上，根据条件概率的性质：[*]＞0．5之后，即可以确定对于i=2，3，P(Ai｜B)都小于0．5，从而不必再计算P(A2｜B)与P(A3｜B)就可以得到问题(Ⅱ)的答案．
解析 依题意，仪器的不合格率与组装该仪器的三个部件的质量有关，即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格”发生的全部因素．因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解，再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率；如果在发现了仪器不合格，从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的优质品数量，则需要应用贝叶斯公式．
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考研数学一

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