设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．

admin2019-06-11 27

问题设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．

选项 A、A^TAx=0与Ax=0的解之间没有关联
B、Ax=0的解一定是A^TAx=0的解，但反之不然
C、A^TAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然
D、Ax=0与A^TAx=0为同解方程组

答案D

解析关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有A^TAη=0，因此，η也必定是方程组A^TAx=0的解．反之，若η是方程组A^TAx=0的非零解，也必有Aη=0，否则，Aη≠0，使得(Aη)^TAη=η^TA^TAη≠0，从而与假设A^TAη=0矛盾．从而知A^TAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．

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