∫-π/4π/4sin4x/(1+ex)dx=________·

admin2021-10-18 4

问题 ∫_-π/4^π/4sin⁴x/(1+e^x)dx=________·

选项

答案3π/32-1/4

解析因为对[-a，a]上连续的函数f(x)有∫_-a^af(x)dx=∫₀^a[f(x)+f(-x)]dx，所以∫_-π/4^π/4sin⁴x/(1+e^x)dx=∫₀^π/4sin⁴x[1/(1+e^x)+1/(1+e^-x)]dx=∫₀^π/4sin⁴xdx=∫₀^π/4[(1-cos2x)/2]²dx=1/8∫₀^π/2(1-cost)²dt=1/8∫₀^π/2(1-2cost+cos²x)dt=π/16-1/4∫₀^π/2costdt+1/8∫₀^π/2cos²tdt=π/16-1/4+1/8×1/2×π/2=3π/32-1/4．

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