2. 考研
  3. 考虑一元函数f(x)的下列4条性质： ①f(x)在[a，b]上连续； ②f(x)在[a，b]上可积； ③f(x))在[a，b]上可导； ④f(x)在[a，b]上存在原函数． 以P=>Q表示由性质P可推出性质Q，则有 ( )

考虑一元函数f(x)的下列4条性质： ①f(x)在[a，b]上连续； ②f(x)在[a，b]上可积； ③f(x))在[a，b]上可导； ④f(x)在[a，b]上存在原函数． 以P=>Q表示由性质P可推出性质Q，则有 ( )

admin2020-01-15  58
问题 考虑一元函数f(x)的下列4条性质：
①f(x)在[a，b]上连续；
②f(x)在[a，b]上可积；
③f(x))在[a，b]上可导；
④f(x)在[a，b]上存在原函数．
以P=>Q表示由性质P可推出性质Q，则有    (    )
选项 A、①=>②=>③．
B、③=>①=>④．
C、①=>②=>④．
D、④=>①=>③．
答案B
解析 因可导必连续．连续函数必存在原函数，故B正确．
A是不正确的．虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=|x|在[－1，1]上可积，且∫－11|x|dx=2∫01xdx=1，但|x|在x=0处不可导．
C是不正确的．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如在[－1，1]上可积，且
∫－11f(x)dx=∫－10(－1)dx+∫011dx=－x|－10+x01=－1+1=0．
但f(x)在[－1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=|x|+C的形式，而此函数在x=0处不可导，在区间[－1，1]上它没有做原函数的“资格”．
D是不正确的．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．例如：

它存在原函数

可以验证Fˊ(x)=f(x)，但f(x)在x=0处并不连续，即存在原函数可以不连续．[img][/img]
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考研数学二

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