2. 考研
  3. 设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限f(χ)＝A及f(χ)＝B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ； (Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．

设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限f(χ)＝A及f(χ)＝B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ； (Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．

admin2016-10-21  69
问题 设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限f(χ)＝A及f(χ)＝B．证明：
    (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ；
    (Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．
选项
答案(Ⅰ)由[*]f(χ)＝A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]X1使得f(X1)＜μ． 由[*]f(χ)＝B＞μ可知，[*]X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(χ)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X1，X2)[*](－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ． (Ⅱ)因[*]f(χ)＝A，[*]f(χ)＝B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X1使得当χ∈(－∞，X1)时f(χ)有界；[*]X2(＞X1)使得当χ∈(X2，＋∞)时f(χ)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(χ)在[X1，X2]上有界．因此f(χ)在(－∞＋∞)上有界．
解析
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考研数学二

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