设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限f(χ)＝A及f(χ)＝B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ； (Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．

admin2016-10-21 71

问题设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限

f(χ)＝A及

f(χ)＝B．证明：
(Ⅰ)设A＜B，则对

μ∈(A，B)，

ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ；
(Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．

选项

答案(Ⅰ)由[*]f(χ)＝A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]X₁使得f(X₁)＜μ．由[*]f(χ)＝B＞μ可知，[*]X₂＞X₁使得f(X₂)＞μ．因f(χ)在[X₁，X₂]连续，f(X₁)＜μ＜f(X₂)，由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X₁，X₂)[*](－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ． (Ⅱ)因[*]f(χ)＝A，[*]f(χ)＝B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X₁使得当χ∈(－∞，X₁)时f(χ)有界；[*]X₂(＞X₁)使得当χ∈(X₂，＋∞)时f(χ)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(χ)在[X₁，X₂]上有界．因此f(χ)在(－∞＋∞)上有界．

解析

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考研数学二

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设f(χ)在(－∞，＋∞)连续，存在极限f(χ)＝A及f(χ)＝B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，＋∞)，使得f(ξ)＝μ； (Ⅱ)f(χ)在(－∞，＋∞)有界．

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