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  3. 已知，判断A与B是否相似?要说明理由．

已知，判断A与B是否相似?要说明理由．

admin2017-11-21  42
问题 已知，判断A与B是否相似?要说明理由．
选项
答案关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件．因此本题应该从计算特征值下手． ｜λE－A｜＝[*] ＝(λ＋1)(λ2－2λ－3) ＝(λ＋1)2(λ－3)， A的特征值为－1，－1，3． ｜λE－B｜＝[*] ＝(λ－3)(λ2＋2λ＋1) ＝(λ－3)(λ＋1)2． B的特征值也是－1，－1，3． 再看3它们是否相似于对角矩阵．只用看对于2重特征值－1有没有两个线性无关的特征向量，也就是看r(A＋E)和r(B＋E)是否为1． [*] r(A＋E)＝1，因此A有属于特征值－1的两个线性无关的特征向量，A相似于对角矩阵． [*] r(B＋E)＝2，因此B没有两个属于特征值－1的线性无关的特征向量，B不相似于对角矩阵． 由相似关系的传递性，A与B不相似．
解析
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考研数学二

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