2. 考研
  3. 当x≥0，证明∫0x(t—t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．

当x≥0，证明∫0x(t—t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．

admin2019-07-19  8
问题 当x≥0，证明∫0x(t—t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．
选项
答案令f(x)=∫0x(t—t2)sin2ntdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f’(x)=(x一x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t。于是当x≥0时有 f(x)≤f(1)=∫01(t一t2)sin2ntdt≤∫01(t一t2)2ndt [*]
解析
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考研数学一

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