设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(-1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

admin2018-11-11 64

问题设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为

(Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)^T，(-1，2，2，1)^T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

选项

答案一种思路是构造一个线性方程组(Ⅲ)，使得它也以η₁，η₂为基础解系．于是(Ⅲ)和(Ⅱ)同解，从而(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解也就是(Ⅰ)和(Ⅲ)的公共解，可以解(Ⅰ)和(Ⅲ)的联立方程组来求得．例如(Ⅲ)可以是： [*] 这种思路的困难在于构造方程组(Ⅲ)，在考场上不是每个考生都能很顺利完成的．另一种思路为：(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解都必定是(Ⅱ)的解，因此有c₁η₁+c₂η₂的形式．它又满足(Ⅰ)，由此可决定c₁与c₂应该满足的条件．具体计算过程：将c₁η₁+c₂η₂=(-c₂，c₁+2c₂， c₁+2c₂，c₂)^T，代入(Ⅰ)，得到 [*] 解出c₁+c₂=0．即当c₁+c₂=0时c₁η₁+c₂η₂也是(Ⅰ)的解．于是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为： c(η₁-η₂)，其中c可取任意常数．

解析

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考研数学二

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设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(-1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

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