确定常数λ，使右半平面上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi-x2(x4+y2)λj是某个函数u(x，y)的梯度，并求出这样的函数．

admin2022-07-21 8

问题确定常数λ，使右半平面上的向量A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi-x²(x⁴+y²)^λj是某个函数u(x，y)的梯度，并求出这样的函数．

选项

答案令P(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λ，Q(x，y)=-x²(x⁴+y²)^λ，在右半平面当x＞0时，有下面等价关系： A(x，y)=P(x，y)i+Q(x，y)j是某个函数u(x，y)的梯度，等价于P(x，y)dx+Q(x，y)dy存在原函数u(x，y)，等价于∫_LP(x，y)dx+Q(x，y)dy与路径无关，等价于[*]．由[*]可得 -2x(x⁴+y²)^λ-x²λ(x⁴+y²)^λ-1·4x³=2x(x⁴+y²)^λ+2xyλ(x⁴+y²)^λ-1·2y即4x(x⁴+y²)^λ(λ+1)=0，解得λ=-1．下面求P(x，y)dx+Q(x，y)dy存在原函数u(x，y)．方法一特殊路径法积分与路径无关，取一定点(1，0)作为起点，而动点(x，y)作为终点．那么所求函数 u(x，y)=∫_(1，0)^(x，y)2xy(x⁴+y²)^λdx-x²(x⁴+y²)^λdy+C [*] 方法二不定积分法设所求函数为u(x，y)，那么由已知 [*] 从而C’(y)=0，即C(y)=C．因此u(x，y)=[*] 方法三凑微分法 [*]

解析

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考研数学一

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