证明:方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1,且若|A|=1,则它的每一个元素等于自己的代数余子式,若|A|=一1,则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1.

admin2015-08-14  43

问题 证明:方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1,且若|A|=1,则它的每一个元素等于自己的代数余子式,若|A|=一1,则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1.

选项

答案必要性 A是正交矩阵AAT=E |A|=±1. 若|A|=1,则AA*=|A|E=E,而已知AAT=E,从而有AT=A*,即aij=Aij; 若|A|=-1,则AA*=|A|E=-E,A(一A*)=E,而已知AAT=E,从而有一A*=AT,即aij=一Aij. 充分性 |A|=1且aij=Aij,则A*=AT,AA*=AAT=|A|E=E,A是正交阵,|A|=一1,且aij=一Aij时,一A*=AT,AA*=|A|E=一E,即AAT=E,A是正交阵.

解析
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