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  3. 设A＝(aij)m×n，y＝(y1，y2，…，yn)T，b＝(b1，b2，…，bm)T，χ＝(χ1，χ2，…，χm)T，证明方程组Ay＝b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。

设A＝(aij)m×n，y＝(y1，y2，…，yn)T，b＝(b1，b2，…，bm)T，χ＝(χ1，χ2，…，χm)T，证明方程组Ay＝b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。

admin2017-11-30  56
问题 设A＝(aij)m×n，y＝(y1，y2，…，yn)T，b＝(b1，b2，…，bm)T，χ＝(χ1，χ2，…，χm)T，证明方程组Ay＝b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。
选项
答案必要性：设方程组Ay＝b易有解，则对满足ATχ＝0的向量χ0， bTχ0＝yTATχ0＝yT×0＝0， 从而[*]，可见方程组[*]无解。 充分性：设方程组[*]无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 [*] 另一方面， [*]≤r([AT，0])＋1＝r(AT)＋1＝r(A)＋1， 所以有[*]≤r(A)。 又由于[*]≥r(A)，可知r(A)＝r([*])，从而方程组Ay＝b有解。
解析
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考研数学一

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