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  3. 利用狄利克雷判别法证明阿贝耳判别法． 阿贝耳判别法：若∫a+∞f(x)dx收敛，g(x)在[a，+∞)上单调有界，则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛．

利用狄利克雷判别法证明阿贝耳判别法． 阿贝耳判别法：若∫a+∞f(x)dx收敛，g(x)在[a，+∞)上单调有界，则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛．

admin2022-11-23  15
问题 利用狄利克雷判别法证明阿贝耳判别法．
    阿贝耳判别法：若∫a+∞f(x)dx收敛，g(x)在[a，+∞)上单调有界，则∫a+∞f(x)g(x)dx收敛．
选项
答案由于∫a+∞f(x)dx收敛，即[*]∫auf(x)dx存在，从而∫auf(x)dx在[a，+∞)上有界．又g(x)在[a，+∞)上单调有界，则必有极限，不妨设[*]g(x)=a，从而有[*][g(x)-a]=0． 设φ(x)=g(x)-a，则φ(x)在[a，+∞)上当x→+∞时单调趋于零．故由狄利克雷判别法知，∫a+∞f(x)[g(x)-a]dx收敛．又由于 ∫a+∞f(x)[g(x)-a]dx=∫a+∞f(x)g(x)dx-a∫a+∞f(x)dx． 因为∫a+∞f(x)dx，从而∫a+∞f(x)g(x)dx也收敛．
解析
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考研数学二

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