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  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导且f’’(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．

设f(x)在[a，b]上二阶可导且f’’(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．

admin2017-04-11  42
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导且f’’(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．
选项
答案对任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=[*]，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间． 因为f’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当“x=x0”， 从而[*] 两式相加得f(x0)＜[*] 由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数．
解析
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考研数学二

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