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求一个以y1=tet,y2=sin 2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程,并求其通解.
求一个以y1=tet,y2=sin 2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程,并求其通解.
admin
2017-07-10
65
问题
求一个以y
1
=te
t
,y
2
=sin 2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程,并求其通解.
选项
答案
由y
1
=te
t
可知y
3
=e
t
为其解,由y
2
=sin 2t可得y
4
=cos 2t也是其解,故所求方程对应的特征方程的根λ
1
=λ
3
=1,λ
2
=2i,λ
4
=一2i.其特征方程为 (λ一1)
2
(λ
2
+4)=0,即λ
4
一2λ
3
+5λ
2
一8λ+4=0. 故所求的微分方程为y
(4)
一2y"’+5y"一8y’+4y=0,其通解为 y=(C
1
+C
2
t)e
t
+C
3
cos 2t+C
1
sin 2t,其中C
1
,C
2
,C
4
,C
4
为任意常数.
解析
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