2. 考研
  3. (13年)设奇函数f(x)在[-1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f／"(η)+f’(η)=1．

(13年)设奇函数f(x)在[-1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f／"(η)+f’(η)=1．

admin2019-06-09  59
问题 (13年)设奇函数f(x)在[-1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f／"(η)+f’(η)=1．
选项
答案(I)因为f(x)是区间[一1，1]上的奇函数，所以f(0)=0． 因为函数f(x)在区间[0，1]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得 f(1)一f(0)=f’(ξ) 又因为f(1)=1，所以f’(ξ)=1． (Ⅱ)因为f(x)是奇函数，所以f’(x)是偶函数，故f’(一ξ)=f’(ξ)=1． 令F(x)=[f’(x)一1]ex，则F(x)可导，且F(一ξ)=F(ξ)=0． 根据罗尔定理，存在η∈(一ξ，ξ)[*](一1，1)，使得F’(η)=0． 由F’(η)=[f"(η)+f’(η)一1]eη且eη≠0，得f"(η)+f’(η)=1．
解析
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考研数学二

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