对任意实数x，证明不等式：(1-x)ex≤1．

admin2011-06-20 76

问题对任意实数x，证明不等式：(1-x)e^x≤1．

选项

答案构造辅助函数，令f(x)=1-e^x+xe^x，x∈(-∞，+∞)，则f’(x)=-e^x+e^x+xe^x=xe^x，令f’(x)=0，得x=0，为驻点．又f"(x)=e^x+xe^x，f"(0)=1＞0，所以x=0为极小值点，且为最小值点，所以x∈(-∞，+∞)，有f(x)≥f(0)=0，即1-e^x+xe^x≥0．即(1-x)e^x≤1，证毕．

解析

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