[2002年] 设y=y(x)是二阶常系数线性微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件.y(0)=y'(0)=0的特解,则当x→0时,函数[ln(1+x2)]/y(x)的极限( ).

admin2019-04-05  154

问题 [2002年]  设y=y(x)是二阶常系数线性微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件.y(0)=y'(0)=0的特解,则当x→0时,函数[ln(1+x2)]/y(x)的极限(    ).

选项 A、不存在   
B、等于1
C、等于2
D、等于3

答案C

解析    由题设先求得y"(0)=1,再对极限式考察是否为0/0型未定式.如果是,再使用洛必达法则求之.
解一  由题设有y"(0)+py'(0)+qy(0)=1,因而y"(0)=1.使用洛必达法则,有=2.
解二  因题设给出y(0)=y'(0)=0的条件,自然想到将y(x)在x=0处展开为麦克劳林公式,再注意到ln(1+x2)~x2(x→0),可展到x2,即展开为二阶麦克劳林公式:
y(x)=y(0)+y'(0)x+
=2.仅(C)入选.
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