设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布． (1)求Z=X+Y的概率密度； (Ⅱ)设Z1，Z2，…Zn为来自总体z的简单随机样本，求λ的矩估计量与最大似然估计量．

admin2020-09-23 72

问题设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布．
(1)求Z=X+Y的概率密度；
(Ⅱ)设Z₁，Z₂，…Z_n为来自总体z的简单随机样本，求λ的矩估计量与最大似然估计量．

选项

答案(I)依题意知，X与Y的概率密度分别为 [*] 由于X与Y相互独立，故(X，Y)的概率密度为 [*] Z=X+Y的分布函数为F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}．当z≤0时，F_Z(z)=0；当z＞0时， [*] 其中D如右图所示，则 F_Z(z)=∫₀^zdx∫₀^z-xλ²e^λ(x+y)dy =∫₀^z(λe^-λx—λe^-λz)dx =1-e^-λz—λze^-λz． [*] 故Z=X+Y的概率密度为 [*] (Ⅱ)先求λ的矩估计量． [*] 再求λ的最大似然估计量．样本的似然函数为 [*] 得[*]故λ的最大似然估计量为[*]

解析

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考研数学一

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设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布． (1)求Z=X+Y的概率密度； (Ⅱ)设Z1，Z2，…Zn为来自总体z的简单随机样本，求λ的矩估计量与最大似然估计量．

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