2. 考研
  3. A和B均是m×n矩阵，秩r(A)+r(B)=n，若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解，P是M阶可逆矩阵，证明：矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系．

A和B均是m×n矩阵，秩r(A)+r(B)=n，若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解，P是M阶可逆矩阵，证明：矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系．

admin2017-06-14  62
问题 A和B均是m×n矩阵，秩r(A)+r(B)=n，若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解，P是M阶可逆矩阵，证明：矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系．
选项
答案由r(B)≥r(BBT)=r(E)=m，得到r(B)=m．于是B的行向量组线性无关，且n－r(A)=m． 根据题设，B的行向量是Ax=0的解，知ABT=0．于是 A(PB)T=ABTPT=0PT=0． 因此，PB的m个行向量是Ax=0的解．又矩阵P可逆，于是r(PB)=r(B)=m，从而PB的行向量线性无关，所以PB的行向量是Ax=0的基础解系． 检验一组向量α1，α2，…，αs是否为Am×nx=0的基础解系，只需检验：(1)α1，α2，…，αs为Ax=0的解；(2)α1，α2，…，αs线性无关；(3)s=n－r(A)．
解析
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考研数学一

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