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函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)-∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x);
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)-∫0xf(t)dt=0。 求导数f’(x);
admin
2019-06-09
30
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1且满足等式
f’(x)+f(x)-
∫
0
x
f(t)dt=0。
求导数f’(x);
选项
答案
为了求f’(x),将f’(x)+f(x)-[*]∫
0
x
f(t)dt=0两边同乘(x+1),得 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)=∫
0
x
f(t)dt=0, 两边对x求导,得 f’(x)+(x+1)f"(x)+f(x)+(x+1)f’(x)-f(x)=0, 即(x+1)f"(x)+(x+2)f’(x)=0。 上述方程为二阶可降阶微分方程,令u=f’(x),化为(x+1)u’+(x+2)u=0,即 [*] 即ln|u|=-(x+ln(x+1))+C
1
,所以 [*] 再以x=0代入原方程f’(0)+f(0)-[*]∫
0
0
f(t)dt=f’(0)+f(0)=0,由f(0)=1,有f’(0)=-1,于是C=-1,f’(x)=-[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JeV4777K
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考研数学二
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