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设λ1，λ2是方阵A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ε1，…，ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ε1，…，εs线性无关．
设λ1，λ2是方阵A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ε1，…，ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ε1，…，εs线性无关．
admin
2016-07-11
32
问题
设λ
1
，λ
2
是方阵A的特征根，λ
1
≠λ
2
，η
1
，…，η
r
是A的对应于λ
1
的线性无关的特征向量，ε
1
，…，ε
5
是A的对应于λ
2
的线性无关的特征向量，证明η
1
，…，η
r
，ε
1
，…，ε
s
线性无关．
选项
答案
证明：由题意 Aη
i
=λ
1
η
i
(i=1，…，r)，Aε
i
=λ
2
ε
i
(i=1，…，s)． 设k
1
η
1
+…+k
r
η
r
+l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
=0……(*) 左乘A得 λ
1
(k
1
η
1
+…+k
r
η
r
)+λ
2
(l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
)=0 ① (*)式再两边同乘以λ
1
，得 λ
1
(k
1
η
1
+…+k
r
η
r
)+λ
1
(l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
)=0 ② ①一②得(λ
2
一λ
1
)(l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
)=0，由λ
2
≠λ
1
，可知，l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
=0，又ε
1
，ε
2
，…，ε
s
线性无关，所以l
1
=…=l
s
=0，代入(*)式可得k
1
=…=k
r
=0，与假设相反故η
1
，…，η
r
，ε
1
，…，ε
s
线性无关，得证．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JlyR777K
本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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