由方程2y3－2y2+2xy+y－x2=0确定的函数y=y(x) ( )

admin2018-07-23 55

问题由方程2y³－2y²+2xy+y－x²=0确定的函数y=y(x) ( )

选项 A、没有驻点．
B、有驻点但不是极值点．
C、驻点为极小值点．
D、驻点为极大值点．

答案C

解析将所给方程两边对x求导数(y看成由此式确定的x的函数)，有
6y²yˊ－4yyˊ+2y+2xyˊ+yˊ－2x=0，
(6y²－4y +2x+1)yˊ+2(y－x)=0．
先考虑驻点，令yˊ=0，得y=x，再与原方程联立：

得 2x³－2x²+2x²+x－x²=0，
即 x (2x²－x+1)=0．
由于2x²－x+1无实根，故得唯一实根x=0，相应地有y=0．在此点有yˊ=0．不选A．
再看此点是否为极值点，求二阶导数，由

以x=0，y=0，yˊ=0代入，得y″(0)=2>0．所以该驻点为极小值点，选C．[img][/img]

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