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  3. 设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．

设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．

admin2021-01-19  30
问题 设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程
    2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．
选项
答案由题设，有 [*] 且进一步有 A2＝αβTαβT＝α(βTα)βT＝2A， A4＝8A． 代入原方程化简，得 16Ax＝8Ax＋16x＋γ， 即8(A－2E)x＝γ． 令x＝(x1，x2，x3)T，代入上式，得到非齐次线性方程组 [*] 其对应齐次方程组的通解为[*](k为任意常数)，非齐次线性方程组的一个特解为 [*] 于是所求方程的通解为x＝ξ＋η*，即 [*](k为任意常数)．
解析 [分析]  本题的方程表面上看很复杂，但注意到，而
＝αβT是3阶矩阵，且有A2＝αβTαβT＝α(βTα)βT2A后，即可方便地化简．
[评注]  一般地，设α＝(a1，a2，…an)，β＝(b1，b2，…，bn)，则
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考研数学二

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