求过点(a，0)的直线方程，使该直线与抛物线y=x2+1相切。

admin2019-11-12 11

问题求过点(a，0)的直线方程，使该直线与抛物线y=x²+1相切。

选项

答案本题考查过曲线外一点求曲线的切线方程。 (方法一)设切点为(x₀，x₀²+1)，因为y＇=2x，则过切点(x₀，x₀²+1)的切线斜率k=2x₀，切线方程为y=2x₀(x－x₀)+x₀²+1=2x₀x－x₀²+1。若切线过点(a，0)，则有2x₀a－x₀²+1=0，解此关于x₀的一元二次方程，得x₀=a±[*]。所以k=2x₀=2(a±[*])。所以所求的切线方程为y=2(a+[*])(x一a)或y=2(a一[*])(x一a)。 (方法二)设切点为(x₀，y₀)，则由切点在抛物线上得y₀=x₀²+1。因为y＇=2x，故切线斜率k=2x₀，所以过点(a，0)的切线方程可设为y=2x₀(x一a)。由切点在切线上得y₀=2x₀(x₀－a)。联立方程[*]化简可得x₀=a±[*]。故k=2(a±[*])。所以所求的切线方程为y=2(a+[*])(x一a)或y=2(a一[*])(x一a)。

解析

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