(08)设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

admin2019-03-21 64

问题 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中

(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)aⁿ；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x₁；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

选项

答案(Ⅰ)记D_n=｜A｜，以下用数学归纳法证明D_n=(n+1)aⁿ．当n=1时，D₁=2a，结论成立；当n=2时， D₂=[*]=3a²=(n+1)aⁿ 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将D_n按第1行展开，得 D_n=2aD_n-1=[*] =2aD_n-1-a²D_n-2 (代入归纳假设D_k=(k+1)(a^k，k＜n) =2ana^n-1-a²(n-1)a^n-2=(n+1)aⁿ 故｜A｜=(b+1)aⁿ． (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]｜A｜≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将D_n第1列换成b，得行列式 [*] =D_n-1=na^n-1 所以，x₁=[*] (Ⅲ)当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，…，0)^T+k(1，0，0，…，0)^T 其中k为任意常数．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KGV4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

(08)设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

考研数学二

在[0，+∞)上给定曲线y=y(x)＞0，y(0)=2，y(x)有连续导数．已知x＞0，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y=y(x)的方程．

求由曲线x2=ay与y2=ax(a＞0)所围平面图形的质心(形心)(如图3．34)．

已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且a≠1，求a．

已知向量组有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表出，求a，b的值．

设A是m×n实矩阵，r(A)=n，证明ATA是正定矩阵．

设(1)求方程组AX=0的一个基础解系．(2)a，b，c为什么数时AX=B有解?(3)此时求满足AX=B的通解．

求线性方程组的通解，并求满足条件x12=x22的所有解．

设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．

求极限：．

具有酶诱导作用的药物是

A、家庭病床B、普通病室C、隔离病室D、观察病室E、急救病室脑出血恢复期

某县为壮族自治县，依照宪法该县人大常委会主任或副主任人选应当符合下列哪一规定?

在事故后果计算方面，个人风险评价考虑的因素和社会风险考虑的因素分别是()。

关于砌体结构房屋的受力特点，说法不正确的是（）。

与一般的银行储蓄存款相比，大额可转让定期存单的特点有()。

对于一个国家和社会来说，在物力资本投资和人力资本投资之间进行平衡的最优原则是，在两个方面投资的()达到相等。

企业所雇用的员工从事不能充分发挥其能力的工作或从事哪种劳动生产率低于他所能达到标准的工作，此种状况称之为()。

企业购入三项没有单独标价的不需要安装的固定资产A、B、C，实际支付的价款总额为100万元。其中固定资产A的公允价值为60万元，固定资产B的公允价值为40万元，固定资产C的公允价值为20万元。固定资产A的入账价值为()万元。