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[2014年] 证明n阶矩阵与相似.[img][/img]
[2014年] 证明n阶矩阵与相似.[img][/img]
admin
2019-04-08
49
问题
[2014年] 证明n阶矩阵
与
相似.[img][/img]
选项
答案
记[*],因A为实对称矩阵,必可对角化.由|λE—A |=λ
n
一nλ
n-1
=(λ一n)λ
n-1
=0可知A的特征值为n,0,0,…,0(n—1个零特征值),故A~diag(n,0,0,…,0)=A. 又由|λE一B|=(λ-n)λ
n-1
=0可知B的特征值为n,0,0,…,0(n一1个零特征值). 当λ=0时,秩(0E一B)=秩(B)=1,则n=秩(0E—B)=n一1,即齐次方程组(0E—B)X=0有n—1个线性无关的解,亦即λ=0时,B有n一1个线性无关的特征向量. 又λ=n时,秩(nE-B)=n一1,则n一秩(nE一B)=n一(n一1)=1,即齐次方程组(nE—B)X=0有一个线性无关的解,亦即B的属于特征值λ=n的线性无关的特征向量只有一个,从而B有n个线性无关的特征向量,于是B必与对角矩阵相似,且B~A=diag(n,0,0,…,0). 由相似的传递性A~Λ~B,得到A~B. 或由A~Λ知,存在可逆矩阵P
1
使P
1
-1
AP
1
=Λ;由B~Λ知,存在可逆矩阵P
1
使 P
2
-1
BP
2
=Λ,于是由P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
得到P
2
P
1
-1
AP
1
P
2
-1
=(P
1
P
2
-1
)
-1
A(P
1
P
2
-1
)=B.令P=P
1
P
2
-1
,则P可逆,且使P
-1
AP=B,因而A~B.
解析
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考研数学一
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