(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

admin2021-01-19 117

问题 (1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

选项

答案由泰勒中值定理可知 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*](η)χ³ 其中η介于0与χ之间，χ∈[－1，1] 分别令χ＝－1和χ＝1，并结合已知条件得 0＝f(－1)＝f(0)＋[*](η₁)，－1＜η₁＜0 1＝f(1)＝f(0)＋[*](η₂)， 0＜η₂＜1 两式相减可得 f′〞(η₁)＋f′〞(η₂)＝6 由f′〞(χ)的连续性，f′〞(χ)在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 m≤[*]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](－1，1) 使[*]＝3

解析

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考研数学二

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(1999年)设函数f(χ)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＝3．

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