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(1999年)设函数f(χ)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f〞(ξ)=3.
(1999年)设函数f(χ)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f〞(ξ)=3.
admin
2021-01-19
103
问题
(1999年)设函数f(χ)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f〞(ξ)=3.
选项
答案
由泰勒中值定理可知 f(χ)=f(0)+f′(0)χ+[*](η)χ
3
其中η介于0与χ之间,χ∈[-1,1] 分别令χ=-1和χ=1,并结合已知条件得 0=f(-1)=f(0)+[*](η
1
), -1<η
1
<0 1=f(1)=f(0)+[*](η
2
), 0<η
2
<1 两式相减可得 f′〞(η
1
)+f′〞(η
2
)=6 由f′〞(χ)的连续性,f′〞(χ)在闭区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 m≤[*]≤M 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1) 使[*]=3
解析
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考研数学二
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