三个非零向量a，b与c，则a×b+b×c+c×a=0是a、b、c共面的( )

admin2016-04-14 80

问题三个非零向量a，b与c，则a×b+b×c+c×a=0是a、b、c共面的( )

选项 A、充分非必要条件．
B、必要非充分条件．
C、充分必要条件．
D、既非充分又非必要条件．

答案A

解析设a×b+b×c+c×a=0，即a×b=一b×c—c×a，于是(a×b).c=一(b×c).c一(c×a).c，混合积中有两向量相同，则该混合积为零，所以(a×b).c=0．于是a，b，c共面．
反之，设a、b、c共面，例如取a=i，b=j，c=i+j，显然它们共面，而
a×b+b×c+c×a=c×a=i×j+j×(i+j)+(i+j)×i=k一k一k=一k≠0．
所以条件不必要．

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