2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明： (Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x－a，x∈[a，b]； f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx。

设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明： (Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x－a，x∈[a，b]； f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx。

admin2018-04-14  48
问题 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：
(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x－a，x∈[a，b]；
f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx。
选项
答案(Ⅰ)因为0≤g(x)≤1，所以由定积分比较定理可知， ∫ax0dt≤∫axg(t)dt≤∫ax1dt， 即0≤∫axg(t)dt≤x－a成立，x∈[a，b]。 (Ⅱ)令F(x)=∫axf(t)g(t)dt－[*]f(t)dt，且F(a)=0。 F’(x)=f(x)g(x)－f[a+∫axg(t)dt]g(x) =g(x){f(x)－f[a+∫axg(t)dt]}， 由(Ⅰ)可知∫axg(t)dt≤x－a，所以a+∫axg(t)dt≤x。由f(x)是单调递增函数，可知 f(x)－f[a+∫axg(t)dt]≥0。 又因为0≤g(x)≤1，所以F’(x)≥0，即F(x)单调递增，所以F(b)≥F(a)=0，得证。
解析
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考研数学二

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