(2002年试题，十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0f’(0)≠0，fn(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0加时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．

admin2021-01-19 110

问题 (2002年试题，十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0f^’(0)≠0，fⁿ(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ₁，λ₂，λ₃，使得当h→0加时，λ₁f(h)+λ₂f(2h)+λ₃f(3h)-f(0)是比h²高阶的无穷小．

选项

答案首先明确高阶无穷小的定义，即若f(x)是x²的高阶无穷小，则当且仅当[*][*]由题设，欲证结论等价于证明存在唯一一组实数λ₁，λ₂，λ₃，使得[*] (1)式成立的必要条件是[*]λ₂f(h)+λ₂f(2h)+λ₃f(3h)一f(0)=0，即λ₁f(0)+λ₂f(0)+λ₃f(0)一f(0)=0，由已知f(0)≠0，因此λ₁+λ₂+λ₃-1=0(2)又由已知f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，从而可利用洛必达法则，由(1)式，[*] (3)同样此式成立的必要条件是[*]λf^’(h)+2λ2f^’(2h)+3λf^’(3h)=0，即λ₁f^’(0)+2λ₂f^’(0)+3λ₃f^’(0)=0由已知f^’(0)≠0，所以λ₁+2λ₂+3λ₃=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则，有[*]同理，由f^’(0)=0，知λ₁+4λ₂+9λ₃=0(5)综合(2)，(4)，(5)三式得一关于λ₁，λ₂，λ₃的线性非齐次方程组[*]该方程组系数行列式为[*]所以方程组有唯一解，所以存在唯一一组实数λ₁，λ₂，λ₃满足题设要求．

解析本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于λ₁，λ₂，λ₃的方程组，即由