首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
admin
2021-01-19
73
问题
(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f
’
(0)≠0,f
n
(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0加时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小.
选项
答案
首先明确高阶无穷小的定义,即若f(x)是x
2
的高阶无穷小,则当且仅当[*][*]由题设,欲证结论等价于证明存在唯一一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得[*] (1)式成立的必要条件是[*]λ
2
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)一f(0)=0,即λ
1
f(0)+λ
2
f(0)+λ
3
f(0)一f(0)=0,由已知f(0)≠0,因此λ
1
+λ
2
+λ
3
-1=0(2)又由已知f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,从而可利用洛必达法则,由(1)式,[*] (3)同样此式成立的必要条件是[*]λf
’
(h)+2λ2f
’
(2h)+3λf
’
(3h)=0,即λ
1
f
’
(0)+2λ
2
f
’
(0)+3λ
3
f
’
(0)=0由已知f
’
(0)≠0,所以λ
1
+2λ
2
+3λ
3
=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则,有[*]同理,由f
’
(0)=0,知λ
1
+4λ
2
+9λ
3
=0(5)综合(2),(4),(5)三式得一关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的线性非齐次方程组[*]该方程组系数行列式为[*]所以方程组有唯一解,所以存在唯一一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
满足题设要求.
解析
本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的方程组,即由
在上式中分别取x=h,2h,3h,则
因此λ
1
f(0)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)=(λ
1
+λ
2
+λ
3
-1)f(0)+(λ
1
+2λ
2
+3λ
3
)f
’
(0)h+
(λ
1
+4λ
2
+9λ
3
)f
’
(0)h
2
+o(h
2
)由题设f(0)≠0,f
’
(0)≠0,f
n
(0)≠0,则要使上式左边当h→0时为h
2
的高阶无穷小,必应满足
由此同样得到关于λ
1
,λ
2
,λ
3
的方程组。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L584777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设f(x)连续,且f(1)=0,f’(1)=2,求极限
[*]
已知a1=(-1,1,a,4)T,a2=(-2,1,5,a)T,a3=(a,2,10.1)T是四阶方阵A的属于三个不同特征值的特征向量,则a的取值为().
A、 B、 C、 D、 D
[*]
若矩阵A=,B=A2-3A+2E,则B-1=_________.
已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,其中α1,α2,α3,α4是4维列向量.若齐次方程组Ax=0的通解是后(1,0,—3,2)T,证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系.
设f(x)为[a,b]上的函数且满足则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明:(1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数.(2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
计算下列定积分:
(1991年)设y=ln(1+3-χ),则dy=_______.
随机试题
以下符合Ⅱ型呼吸衰竭诊断标准的血气分析特点的是
年轻恒牙活髓切断术的主要目的为
下列各项中,不属于输出设备的是()。
下列关于房产税计税依据的表述中,不正确的有()。
在社会主义改造基本完成以后,正确处理人民内部矛盾成为国家政治生活的主题。中国共产党提出的正确处理人民内部矛盾的方针政策主要有()
在VisualFoxPro中修改数据库、表单和报表等组件的可视化工具是
以下程序段的输出结果是X=1:Y=4DoUntilY>4X=X*Y:Y=Y+1LoopPrintX
一个栈的初始状态为空。现将元素1、2、3、4、5、A、B、C、D、E依次入栈,然后再依次出栈,则元素出栈的顺序是()。
用来存储当前正在运行的应用程序的存储器是__________。
Beforethemid-1860’s,theimpactoftherailroadsintheUnitedStateswaslimited,inthesensethatthetracksendedattheM
最新回复
(
0
)