设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是 ( )

admin2014-04-23 70

问题设

是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是 ( )

选项 A、ad—bc＜0
B、b，c同号
C、b=c
D、b，c异号

答案D

解析对C，当b=c时，A是实对称阵→A～A，故C是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角阵．

对A，当ad一bc＜0时，由(*)，(a+d)²一4(ad一bc)＞0．A有两个不同的特征值→A～A．故A是充分条件．对B，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a一d)²+4bc＞0．A有两个不同的特征值→A～A．故B是充分条件．对D，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a一d)²+4bc=0时，会有二重特征值．例：

b=一1，c=1，异号，有

λ₁=λ₂=0，但r(QE—A)=1，线性无关的特征向量只有一个，

，故D不是充分条件，故应选D．

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考研数学一

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