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已知y1=e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y|x=0=0,y’|x=0=1的解为________.
已知y1=e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y|x=0=0,y’|x=0=1的解为________.
admin
2022-09-22
112
问题
已知y
1
=e
3x
-xe
2x
,y
2
=e
x
-xe
2x
,y
3
=-xe
2x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y|
x=0
=0,y’|
x=0
=1的解为________.
选项
答案
y=e
3x
-e
x
-xe
2x
解析
y
1
-y
2
=e
3x
-e
x
,y
2
-y
3
=e
x
是对应齐次微分方程的解.
由分析知,y
*
=-xe
2x
是非齐次微分方程的一个特解,
故原方程的通解为y=C
1
(e
3x
-e
x
)+C
2
e
x
-xe
2x
,C
1
,C
2
为任意常数.
由y|
x=0
=0,y’|
x=0
=1,可得C
1
=1,C
2
=0.
因此原非齐次微分方程满足特定条件下的解为y=e
3x
-e
x
-xe
2x
.
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考研数学二
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