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  3. 设f(x)为连续函数，且满足∫0xf(t)dt=ex+∫0xtf(x-t)dt，则曲线y=f(x)的拐点为_______

设f(x)为连续函数，且满足∫0xf(t)dt=ex+∫0xtf(x-t)dt，则曲线y=f(x)的拐点为_______

admin2020-09-23  40
问题 设f(x)为连续函数，且满足∫0xf(t)dt=ex+∫0xtf(x-t)dt，则曲线y=f(x)的拐点为_______
选项
答案(一3，一2e-3)
解析 令x—t=u，则
   ∫0xtf(x一t)dt=∫x0(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x一u)f(u)du，
  则已知等式可化为
    ∫0xf(t)dt=ex+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，
  等式两边对x求导，得
   f(x)=ex+∫0xf(u)du，
  取x=0，得，f(0)=1，上式两边对x求导，得
    f’(x)一f(x)=ex，
  于是    [f’(x)一f(x)]e-x=1，即[f(x)e-x]’=1，
  等式两边对x积分，得
    f(x)e-x=x+C，  f(x)=ex(x+C)，
    由f(0)=1，得C=1，则f(x)=ex(x+1)，f’(x)=ex(x+2)．f”(x)=ex(x+3)，
    由f”(x)=0，得x=-3，且当x＜-3时，f"(x)＜0，当x＞一3时，f"(x)＞0，故曲线y=f(x)的拐点为(一3，一2e-3)．
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