设f(x)为连续函数，且满足∫0xf(t)dt=ex+∫0xtf(x-t)dt，则曲线y=f(x)的拐点为_______

admin2020-09-23 29

问题设f(x)为连续函数，且满足∫₀^xf(t)dt=e^x+∫₀^xtf(x-t)dt，则曲线y=f(x)的拐点为_______

选项

答案(一3，一2e^-3)

解析令x—t=u，则
∫₀^xtf(x一t)dt=∫_x⁰(x一u)f(u)(一du)=∫₀^x(x一u)f(u)du，
  则已知等式可化为
∫₀^xf(t)dt=e^x+x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du，
  等式两边对x求导，得
f(x)=e^x+∫₀^xf(u)du，
  取x=0，得，f(0)=1，上式两边对x求导，得
f’(x)一f(x)=e^x，
  于是 [f’(x)一f(x)]e^-x=1，即[f(x)e^-x]’=1，
  等式两边对x积分，得
f(x)e^-x=x+C，  f(x)=e^x(x+C)，
由f(0)=1，得C=1，则f(x)=e^x(x+1)，f’(x)=e^x(x+2)．f”(x)=e^x(x+3)，
由f”(x)=0，得x=-3，且当x＜-3时，f"(x)＜0，当x＞一3时，f"(x)＞0，故曲线y=f(x)的拐点为(一3，一2e^-3)．

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