设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，求Z=(X+Y)2的概率密度fZ(z)．

admin2020-04-30 23

问题设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，求Z=(X+Y)²的概率密度f_Z(z)．

选项

答案设T=X+Y，则Z=T²，由独立条件下正态分布的性质，T服从N(0，2)，概率密度为[*] Z的分布函数F_Z(z)=P{Z≤z}=P{T²≤z}．当z＜0时，[*] 故[*]

解析解答本题的关键是独立条件下正态分布的性质．因为X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，可知X+Y服从N(0，2)，再利用分布函数法求解．

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