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解下列微分方程: (Ⅰ)y’’-7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)y’’+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b<0为常数; (Ⅲ)y’’’+y’’+y’+y=0的通解.
解下列微分方程: (Ⅰ)y’’-7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)y’’+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b<0为常数; (Ⅲ)y’’’+y’’+y’+y=0的通解.
admin
2018-06-27
71
问题
解下列微分方程:
(Ⅰ)y’’-7y’+12y=x满足初始条件y(0)=
的特解;
(Ⅱ)y’’+a
2
y=8cosbx的通解,其中a>0,b<0为常数;
(Ⅲ)y’’’+y’’+y’+y=0的通解.
选项
答案
(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ
2
-7λ+12=0,它有两个互异的实根:λ
1
=3,λ
2
=4,所以,其通解为[*]=C
1
e
3x
+C
2
e
4x
. 由于0不是特征根,所以非齐次方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ax+B.代入方程,可得A=[*].所以,原方程的通解为y(x)=[*]+C
1
e
3x
+C
2
e
4x
. 代入初始条件,则得 [*] 因此所求的特解为y(x)=[*](e
4x
-e
3x
). (Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai,所以其通解为[*]=C
1
cosax+C
2
sinax.求原非齐次方程的特解,需分两种情况讨论: ①当a≠b时,特解的形式应为Acosbx+Bsinbx,将其代入原方程,则得 [*] 所以,通解为y(x)=[*]cosbx+C
1
cosax+C
2
sinax,其中C
1
,C
2
为任意常数. ②当a=b时,特解的形式应为Axcosax+Bxsinax,代入原方程,则得 A=0,B=[*] 原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C
1
cosax+C
2
sinax,其中C
1
,C
2
为任意常数. (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程,其相应的特征方程为λ
3
+λ
2
+λ+1=0,分解得(λ+1)(λ
2
+1)=0,其特征根为λ
1
=-1,λ
2,3
=±i,所以方程的通解为 y(x)=C
1
e
-x
+C
2
cosx+C
3
sinx,其中C
1
,C
2
,C
3
为任意常数.
解析
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考研数学二
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