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  3. 设X和Y为独立的随机变量，X在区间[0，1]上服从均匀分布，Y的概率密度函数为 求随机变量Z=X+Y的分布函数Fz(z)．

设X和Y为独立的随机变量，X在区间[0，1]上服从均匀分布，Y的概率密度函数为 求随机变量Z=X+Y的分布函数Fz(z)．

admin2016-11-03  51
问题 设X和Y为独立的随机变量，X在区间[0，1]上服从均匀分布，Y的概率密度函数为

求随机变量Z=X+Y的分布函数Fz(z)．
选项
答案依题设可知，X的概率密度函数为 [*] 而 FZ(z)=P(Z≤z)=[*]f(x，y)dxdy， 其中区域D为一∞＜x+y≤z． 因而为求出FZ(z)，必须先求出联合概率密度f(x，y)．由上述fY(y)与fX(x)的表示式易求得 [*] 因f(x，y)取非零值的定义域的边界点为(0，0)，(0，1)，(1，2)，(0，2)，相应地，x+y=z的可能取值为0，1，2，3．因而z应分下述情况分别求出分布函数Fz(z)：(1)z≤0；(2)0＜z≤1； (3)1＜z≤2；(4)2＜z≤3；(5)z＞3． 于是当z≤0时，f(x，y)=0，则FZ(z)=0． 当0＜z≤1时，则 [*] 当1＜z≤2时(参见下图)，则 [*] [*] 当2＜z≤3时，则 FZ(z)=1一[*](3一z)3． 当z＞3时，易求得FZ(z)=1． 综上得到 [*]
解析 由独立性即可写出(X，Y)的概率密度函数．求X、Y的线性函数的分布函数一般直接按定义求之．
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