已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解．若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

admin2017-04-24 71

问题已知y₁(x)=e^x，y₂(x)=u(x)e^x是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y’+2y=0的两个解．若u(一1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

选项

答案将y₂(x)=u(x)e^x代入原方程并整理得 (2x 一1)u"+(2x一3)u’=0．令u’(x)=z，则 (2x一1)z’+ (2x一3)z=0，解得 z=[*] (2x一1)e^一x，从而 u(x)=[*](2x 一 1)e^一xdx=[*][(2x一1)e^一x+2e^一x] +[*]．由u(一1)= e，u(0)=一1，得[*]=0，所以u(x)=一(2x+1)e^一x．所以原微分方程的通解为 y=C₁e^x—C₂(2x+1)．

解析

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考研数学二

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