2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

admin2019-07-22  43
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．
(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；
(2)求A的特征值与特征向量．
选项
答案(1)令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，则 x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0[*]x1α2+x2α3+…+xn-1αn=0 x1Aα2+x2Aα3+…+xn-1Aαn=0[*]x1α3+x2α4+…+xn-2αn=0 … x1αn=0 因为αn≠0，所以x1=0，反推可得x2=…xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关． (2)A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)[*]，令P=(α1，α2，…，αn)，则P-1AP=[*]=B，则A与B相似，由｜λE-B｜=0[*]λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．
解析
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考研数学二

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