2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(k)一∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(k)一∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

admin2019-05-14  79
问题 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(k)一∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．
选项
答案因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少． 又因为an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx=f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])， 所以{an}单调减少． 因为an=[*]∫kk+1[f(k)—f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)—f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n一1) 且[*]f(x)=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0． 由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以[*]存在． 由an=f(1)+[f(2)一∫12f(x)dx]+…+[f(n)～∫n—1nf(x)dx]， 由an=f(1)+[f(2)一∫12f(x)dx]+…+[f(n)～∫n—1nf(x)dx]， 而f(k)一∫k—1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤[*]≤f(1)．
解析
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考研数学一

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