（2006年真题）矩阵，若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中[ ]。

admin2015-04-14 3

问题（2006年真题）矩阵

，若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中[ ]。

选项 A、x=1，y=1
B、x=0，y=1
C、x=-1，y=0
D、x=0，y=-1

答案B

解析本题考查特殊矩阵的特征值和简单矩阵特征值的求法和性质。
解法1
因为矩阵B是对角矩阵，所以它的特征值是其对角元素2，y，-1，由于

且由题设λ=-1是矩阵A的特征值，所以λ=-1满足λ(λ-x)-1=0，解得x=0，由此易知A的特征值为2，1，-1，由条件知y=1。故正确选项为B。
解法2
矩阵A和B的特征值对应相等，则这两个矩阵的特征多项式相等，即

(2-λ)[(λ-x)λ-1]=-(2-λ)(y-λ)(1+λ)

(2-λ)(λ²-xλ-1)=(2-λ)(λ²-(y-1)λ-y)，由于λ是任意的，比较λ的系数得y=1，x-y-1=0即x=0，y=1。
解法3
因A的特征值和B的特征值对应相等，所以|A|=|B|。又矩阵的主对角元素之和等于矩阵的行列式，所以这两个矩阵主对角元素之和相等，从而有

，
即-2=-2y和2+x=2+y-1=1+y，即y=1+x，解得y=1，x=0。

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GCT工程硕士（数学）

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