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  3. “对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当，n≥N时，恒有｜xn－a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的

“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当，n≥N时，恒有｜xn－a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的

admin2014-10-08  48
问题 “对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当，n≥N时，恒有｜xn－a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的
选项 A、允分条件但非必要条件．   
B、必要条件但非充分条件．
C、允分必要条件．   
D、既非充分条件又非必要条件．   
答案C
解析 [分析]  本题考查对数列收敛性定义的理解，注意到2ε仍是可任意小的正数，因此上述条件也是数列收敛的充要条件．当然也可严格推导出它与标准定义是等价的．
    [详解]  由数列{xn}收敛于a“对任意给定的ε1＞0，总存在正整数N1，当n>N1时，恒有｜xn－a｜＜ε1”，显然可推导出：“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜x2n－a｜≤2ε”．
    反过来，若有“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn－a｜≤2ε”，则对任意的ε1＞0(不妨设0＜ε1＜1，当ε1≥1时，取，代替即可)。取，存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn－a｜≤2ε＝，令N1＝N－1，则满足“对任意给定的ε1＞0，总存在正整数N1，当n＞N1时，恒有｜xn－a｜＜ε1”．可见上述两种说法是等价的，故应选(C)．
    [评注]  在复习过程中，对基本概念要理解透彻，而不仅仅在于是否记住．本题若真正理解了数列极限的概念，并注意到2ε仍是可任意小的正数，则可立即得到正确选项．
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考研数学二

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