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  3. 设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

admin2020-03-02  29
问题 设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是(    )
选项 A、A＋B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A*＋B*是对称矩阵
D、A－2B是对称矩阵
答案B
解析 由题设条件，则
    (A＋B)T＝AT＋BT＝A＋B，
    以及
    (kB)T＝kBT＝kB，
    所以有
    (A－2B)T＝AT－(2BT)＝A－2B，
    从而选项A，D的结论是正确的．
    首先来证明(A*)T＝(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等．(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji＝aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij*从而(A*)T＝(AT)*＝A*，故A*为对称矩阵，同理，B*亦为对称矩阵．结合选项A的结论，则选项C的结论是正确的．
    因为(AB)T＝BTAT＝BA，从而选项B的结论不正确．
    注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB＝BA．
    所以应选B．
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