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设A,B均为n阶对称矩阵,则下列结论不正确的是( )
设A,B均为n阶对称矩阵,则下列结论不正确的是( )
admin
2020-03-02
36
问题
设A,B均为n阶对称矩阵,则下列结论不正确的是( )
选项
A、A+B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A
*
+B
*
是对称矩阵
D、A-2B是对称矩阵
答案
B
解析
由题设条件,则
(A+B)
T
=A
T
+B
T
=A+B,
以及
(kB)
T
=kB
T
=kB,
所以有
(A-2B)
T
=A
T
-(2B
T
)=A-2B,
从而选项A,D的结论是正确的.
首先来证明(A
*
)
T
=(A
T
)
*
,即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等.(A
*
)
T
在位置(i,j)的元素等于A
*
在(j,i)位置的元素,且为元素a
ij
的代数余子式A
ij
而矩阵(A
T
)
*
在(i,j)位置的元素等于A
T
的(j,i)位置的元素的代数余子式,因A为对称矩阵,即a
ji
=a
ij
则该元素仍为元素a
ij
的代数余子式A
ij*
从而(A
*
)
T
=(A
T
)
*
=A
*
,故A
*
为对称矩阵,同理,B
*
亦为对称矩阵.结合选项A的结论,则选项C的结论是正确的.
因为(AB)
T
=B
T
A
T
=BA,从而选项B的结论不正确.
注意:当A,B均为对称矩阵时,AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA.
所以应选B.
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考研数学一
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