设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

admin2020-03-02 52

问题设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

选项 A、A＋B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A^*＋B^*是对称矩阵
D、A－2B是对称矩阵

答案B

解析由题设条件，则
(A＋B)^T＝A^T＋B^T＝A＋B，
以及
(kB)^T＝kB^T＝kB，
所以有
(A－2B)^T＝A^T－(2B^T)＝A－2B，
从而选项A，D的结论是正确的．
首先来证明(A^*)^T＝(A^T)^*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等．(A^*)^T在位置(i，j)的元素等于A^*在(j，i)位置的元素，且为元素a_ij的代数余子式A_ij而矩阵(A^T)^*在(i，j)位置的元素等于A^T的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即a_ji＝a_ij则该元素仍为元素a_ij的代数余子式A_ij*从而(A^*)^T＝(A^T)^*＝A^*，故A^*为对称矩阵，同理，B^*亦为对称矩阵．结合选项A的结论，则选项C的结论是正确的．
因为(AB)^T＝B^TA^T＝BA，从而选项B的结论不正确．
注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB＝BA．
所以应选B．

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