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阅读材料:如图,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为,r1,r2,腰上的高为h,连接AP,则S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:AB.r1+AC.r2=AB.h,所以r1+r2=h. (1)理解与应用
阅读材料:如图,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为,r1,r2,腰上的高为h,连接AP,则S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:AB.r1+AC.r2=AB.h,所以r1+r2=h. (1)理解与应用
admin
2015-12-09
102
问题
阅读材料:如图,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为,r
1
,r
2
,腰上的高为h,连接AP,则S
△ABP
+S
△ACP
=S
△ABC
,即:
AB.r
1
+
AC.r
2
=
AB.h,所以r
1
+r
2
=h.
(1)理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”,那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”,即:已知边长为2的等边三角形ABC内任意一点P到各边的距离分别为r
1
,r
2
,r
3
.试证明:r
1
+r
2
+r
3
=
.
(2)类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于_______.
(3)拓展与延伸
若边长为2的正n边形A
1
A
2
…A
n
内部任意一点P到各边的距离为r
1
,r
2
,…,r
n
,请问r
1
+r
2
+…+r
n
是否为定值(用含n的式子表示),如果是,请合理猜测出这个定值.
选项
答案
(1)如图1所示,连接AP、BP、CP,过点A作AD⊥BC于D, 所以∠ADB=90°, 又因为AABC是等边三角形,所以AB=BC=CA=2,∠ABC=60°, 所以∠BAD=30°,BD=1,AD=[*], 又因为S
△ABP
+S
△BCP
+S
△ACP
=S
△ABC
, 所以[*] 即r
1
+r
2
+r
3
=[*]. [*] (2)如图2所示,过点P作EG⊥AB于E,交CD于G,过点P作FH⊥AD于H,交BC于F. 所以EG上CD,FH⊥BC, 因为四边形ABCD是正方形, 所以点P到四个边的距离和PE+PF+PG+PH=EG+FH=BC+AB=2AB=2×2=4. [*] (3)设正n边形的边心距为r,且正n边形的边长为2. 所以正n边形的面积S=[*]. 又因为正n边形的面积S=[*]×2×r
n
=nr, 整理得r
1
+r
2
+…+r
n
=[*] 所以r
1
+r
2
+…+r
n
为定值,为[*].
解析
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