2. 考研
  3. 设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴． (Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离； (Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx．

设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴． (Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离； (Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx．

admin2021-05-19  62
问题 设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．
(Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式；
(Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离；
(Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx．
选项
答案(Ⅰ)微分方程的特征方程为 2λ2+λ－1=0， 特征值为λ1=－1，λ2=[*]，则微分方程2y"+y’－y=0的通解为 [*] 令非齐次线性微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的特解为y0(x)=x(ax+b)e－x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为y0(x)=x2e－x，原方程的通解为 [*] 由初始条件y(0)=y’(0)=0得C1=C2=0，故y=x2e－x． (Ⅱ)曲线y=x2e－x到x轴的距离为d=x2e－x， 令d’=2xe－x－x2e－x=x(2－x)e－x=0，得x=2． 当x∈(0，2)时，d’＞0； 当x＞2时，d’＜0， 则x=2为d=x2e－x的最大值点，最大距离为d(2)=[*] (Ⅲ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e－xdx=2．
解析
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考研数学二

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